Csurka László Budapesten született, kisgyermekként költözött családjával Békésre, ahol a család rokonsága is élt.
Általános és középiskola tanulmányait is Békésen végezte. A Szegedi Kiss István Gimnázium tanulójaként aktívan részt vállalt a közösségi munkában. Éveken keresztül március 15-én ő szavalta a Nemzeti dalt a békési bérház erkélyéről. A sport területén is eredményes volt, az akkori kosárlabda csapat egyik erőssége és többszörös magyar ifjúsági válogatott volt.
Színészi irányultságára igen nagy hatással voltak édesapja barátai, Sinka István, Szabó Pál, Püski Sándor vagy Veres Péter, akikkel sokszor találkozott személyesen is.
A Gimnázium befejezése utána Bíró Lajos (Atyus) tanár úr sugallatára jelentkezett és felvételt nyert a Színház- és Filmművészeti Főiskolára, ahonnan 1955-ben politikai okok miatt eltávolították.
Pályáját a Kaposvári Csiky Gergely Színházban kezdte, majd 1958-ban egy évadon át a Déryné Színház színészeként tevékenykedett. Németh Antal hívta fel a Nemzeti Színház vezetőinek figyelmét a tehetséges színészre, melynek eredményeként 1959-től a Nemzeti Színház társulatának tagja lesz, 2000-től pedig a Magyar Színház művésze.
Magasan kiemelkedő munkásságát és életútját fényesen fémjelzik azok a színházi szerepei, játék- és tévéfilmjei, melyekből a következők emelhetők ki a teljesség igénye nélkül:
Színházi szerepek közül: Csongor és Tünde – Csongor szerepe, Rómeó és Júlia – Tybalt szerepe, Machbet – Duncan skót király, Otelló – Brabantio, Az ifjúság édes madara – Boss finley szerepe, Tévedések vígjátéka – Égeon szerepe;
Játékfilmek területén: Az ígéret földje, Pacsirta, Sellő a pecsétgyűrűn, Szegénylegények, A veréb is madár, Sose halunk meg, Honfoglalás;
Tévéfilmekben: Fáklyaláng, Princ a katona, Bors, Egy óra múlva itt vagyok, A fekete város, Rózsa Sándor.
Csurka László kiváló beszédtechnikájának, jellegzetes orgánumának köszönhetően, igen sok szinkron alakítás is fűződik nevéhez, számtalan alkalommal szinkronizált filmekben és népszerű rajzfilmekben is. Pl. Ludas Matyi, Macskafogó, Vízipók-csodapók. Színházban és filmekben játszott szerepein túl, megszámlálhatatlan rádiójáték közreműködő művésze volt, emlékezetes, fontos karakterszerepekben.
Csurka László a Jászai Mari díjat, és a Nemzeti Színház örökös tagja megtisztelő címet is kiérdemelte.
Békés város mindig is közel állt szívéhez, nyíltan és büszkén vallja magát békésinek. Felkérésre szívesen vállal előadóművészi közreműködést városi ünnepségeken.
Gyermekkorának legszebb évei és az itt élő család mindig is hazavonzotta, legutóbb a Madzagfalvi Napokon segítette a főzőverseny zsűrijének munkáját, az Asztalos kút avatásán pedig édesapjának békési kötődésű regényéből olvasott fel felejthetetlen stílusban.
